Condensador
Se denomina condensador al dispositivo formado por dos conductores cuyas cargas son iguales pero de signo opuesto.La capacidad C de un condensador se define como el cociente entre la carga Q y la diferencia de potencia V-V’ existente entre ellos.
La unidad de capacidad es el farad o faradio F, aunque se suelen emplear submúltiplos de esta unidad como el microfaradio µF=10-6 F, y el picofaradio, pF=10-12 F.
Un condensador acumula una energía U en forma de campo eléctrico. La fórmula como demostraremos más abajo es
Condensador plano-paralelo
En primer lugar, calculamos el campo creado por una placa plana indefinida, cargada con una densidad de carga s , aplicando la ley de Gauss.Campo creado por una placa plana indefinida, cargada.
Para una placa indefinida cargada, la aplicación del teorema de Gauss requiere los siguientes pasos:
1.-A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico.
La dirección del campo es perpendicular a la placa cargada, hacia afuera si la carga es positiva y hacia la placa si la carga es negativa.2.-Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo
Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de base S, cuya generatriz es perpendicular a la placa cargada. El flujo tiene dos contribuciones
- Flujo a través de las bases del cilindro: el campo y el vector superficie son paralelos.
E·S1+E·S2=2EScos0º=2ES
- Flujo a través de la superficie lateral del cilindro. El campo E es perpendicular al vector superficie dS, el flujo es cero.
El flujo total es por tanto; 2ES3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
La carga (en la figura de color rojo) en el interior de la superficie cerrada vale q=s S, donde s es la carga por unidad de superficie4.-Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico
El campo producido por una placa infinitamente grande es constante, su dirección es perpendicular a la placa. Esta fórmula la podemos considerar válida para distancias próximas a una placa en comparación con sus dimensiones.
Campo creado por dos placas planas cargadas con cargas iguales y opuestas.
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Supondremos que las placas son infinitamente grandes o bien, que la
separación entre las placas es pequeña comparada con sus dimensiones.En la figura
de arriba, se
muestra el campo producido por cada una de las placas y en la figura de
abajo, el campo resultante. Sea un condensador formado por dos placas iguales de área S, separadas una distancia d, pequeña en comparación con las dimensiones de las placas. El campo se cancela en la región del espacio situado fuera de las placas, y se suma en el espacio situado entre las placas. Por tanto, solamente existe campo entre las placas del condensador, siendo despreciable fuera de las mismas. |
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Como el campo es constante, la diferencia de
potencial entre las placas se calcula multiplicando el módulo del campo por la
separación entre las mismas. El área del rectángulo de la figura.
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donde Q=s S es la carga total de la placa del condensador.
La capacidad del condensador solamente depende de su geometría, es decir, del área de las placas S y de la separación entre las mismas d.
Energía de un condensador cargado
Para cargar un condensador pasamos carga de la placa de menor a la de mayor potencial y requiere, por tanto, el consumo de energía. Imaginemos que el proceso de carga comienza con ambas placas completamente descargadas y después, sacamos repetidamente cargas positivas de una de ellas y las pasamos a la otra. En un momento dado, tendremos una carga q en las placas y la diferencia de potencial entre las mismas será V tal queq=C·V
El trabajo necesario para incrementar en dq la carga del condensador será
dW=V·dq
El trabajo total realizado en el proceso de carga, mientras esta aumenta desde cero hasta su valor final Q.
Electrómetro de placas
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Carga constante
Conectamos el condensador plano-paralelo a una batería
que carga las placas del condensador con una carga q. A continuación,
desconectamos la batería.
Supongamos que la separación
entre las placas del condensador es x, y mediante una fuerza mecánica
externa Fm igual y opuesta a la fuerza de atracción
electrostática Fe aumentamos la separación entre las
placas en dx.
El trabajo dWm=Fm·dx
realizado por la fuerza mecánica se invierte en modificar la energía U=q2/(2C)
almacenada por el condensador en forma de campo eléctrico. Como la batería
está desconectada no suministra ninguna energía al condensador durante este
proceso, por lo que dWm=dU
Para un condensador plano-paralelo ideal C=ε0·S/x,
la fuerza vale
Cuando la placa del condensador se desplaza Δx
la capacidad disminuye, la energía del condensador aumenta
El trabajo realizado por la fuerza exterior Fm=Fe
para incrementar la separación de las placas es
El trabajo realizado por la fuerza exterior Fm
se emplea en incrementar la energía ΔUc del condensador
Paradoja
El campo eléctrico en el condensador es constante y su
valor es σ/ε0 o bien, q/(Sε0),
la fuerza que ejerce este campo sobre la placa cargada es q2/(Sε0),
que es el doble de lo que hemos deducido. ¿Cómo se entiende estos dos
resultados dispares?.
Imaginemos que la carga en la superficie de la placa
ocupa una capa delgada, como se indica en la figura, el campo variará desde
cero en la superficie interna de la capa hasta σ/ε0 en el
espacio entre las placas. El campo medio que actúa sobre la carga situada en
la capa delgada es σ/(2ε0 ), y por tanto las fuerza
sobre la carga situada en la capa delgada es qσ/(2ε0
)=q2/(Sε0). Esta es la razón del
factor 1/2 que aparece en la expresión de la fuerza que hemos deducido.
(Véase Feynman)
La fuerza de atracción entre las placas Fe=-Fm
es constante e independiente de su separación x. La fuerza Fe
la podemos obtener a partir de la energía almacenada en forma de campo
eléctrico en el condensador U=q2/(2C), mediante la
expresión.
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Potencial constante
La balanza de Kelvin mide la fuerza entre las placas
de un condensador plano-paralelo cargado. Una de las placas del condensador
cuelga de un brazo de una balanza, en el otro brazo se colocan pesas.
Las placas del condensador se ponen en contacto con una
fuente ajustable de alto voltaje, que va variando poco a poco hasta que la
balanza se pone en equilibrio. Un anillo metálico que rodea a la placa superior
minimiza los efectos del campo que sale por los bordes de las placas
paralelas
Vamos a determinar la fuerza Fe de atracción
entre las placas, suponiendo que el condensador tiene inicialmente una capacidad C,
y las placas están cargadas con una carga q tal que q=C·V
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Incrementamos en dx la separación
entre las placas ejerciendo una fuerza mecánica exterior Fm
sobre la placa móvil igual y opuesta a la fuerza de atracción eléctrica Fe
entre las placas.
El trabajo realizado por la fuerza mecánica es dWm=Fm·dx
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Si las placas del condensador se mantienen a una
diferencia de potencial constante V mediante una batería, al
modificarse la capacidad, la batería realiza un trabajo para suministrar o
retirar una carga dq=V·dC. Este trabajo vale
dWV=V·dq=V2·dC
El trabajo total realizado sobre el condensador
modifica la energía U=CV2/2 almacenada en el mismo
en forma de campo eléctrico.
dU= dWV+ dWm
Como V es constante, tenemos que
½V2·dC=V2·dC+Fm·dx
Despejamos la fuerza Fm
Para un condensador plano-paralelo ideal C=ε0·S/x
La fuerza de atracción entre las placas Fe=-Fm
es inversamente proporcional al cuadrado de su separación x. La
fuerza Fe la podemos obtener también, a partir de la energía
U=CV2/2 almacenada en forma de campo eléctrico en el condensador,
mediante la expresión.
Cuando la placa del condensador se desplaza Δx
la capacidad disminuye, la energía del condensador disminuye.
La fuerza Fm=Fe que
debemos de hacer para desplazar la placa, de acuerdo a la argumentación del
punto anterior.
El trabajo de esta fuerza es
A medida que se separa las placas, decrece la
capacidad, las placas pierden carga que va a la batería.
El trabajo realizado sobre la batería es el producto de
la pérdida de carga que experimenta el condensador por la ddp V de la batería
La batería gana energía que proviene, la mitad, de
la disminución de la energía condensador ΔUc y la
otra mitad, del trabajo
realizado por la fuerza externa Wm.
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